|
Олімпіада з математики
Завдання І етапу учнівської олімпіади з математики 5 клас 1. Олег, Борис і Віктор вирішили за прикладом Куклачова приступити до дресирування своїх кошенят. Борине кошеня стрибало через палицю краще, ніж кошеня сіамської породи. Персидське кошеня стрибало краще ніж Мурзик. Вітине кошеня стрибало краще, ніж Пушок, а Тигрик стрибав не гірше, ніж персидське кошеня. Але сибірському кошеняті надоїло дресирування, і воно подряпало свого господаря. Кого подряпало сибірське кошеня? 2. Для нумерації сторінок підручника використали 312 цифр. Скільки сторінок в цій книжці? Скільки цифр потрібно для нумерації сторінок книжки, яка має 160 сторінок? 3. Два вирази розв’язані невірно: а) 7∙9 + 12:3-2 = 23, б)7∙9 + 12:3-2=75. Розставте так дужки у неправильних виразах, щоб вирази стали правильними. 4. Пофарбований куб із стороною 12 см розрізали на кубики із стороною 2 см. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані, скільки – 2 і у скількох лише одна грань пофарбована? Скільки кубиків зовсім не пофарбованих? 6 клас 1. Чи можна видати за допомогою тринадцяти грошей номіналом 25; 5; 1 гривень суму 198 гривень? 2. Дід сам випиває діжечку квасу за 14 днів, а разом з бабою випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна баба вип'є таку ж діжечку квасу? 3. Сашко, Борис і Василь збирали гриби. Борис знайшов грибів на 20% більше, ніж Сашко, але на 20% менше, ніж Василь. На скільки відсотків більше грибів знайшов Василь, ніж Сашко? 4. Мандрівник повинен подолати пустелю. Його шлях дорівнює 80км. За один день він долає 20км та може нести запас їжі та води на 3 дні, тому він повинен робити проміжні бази, щоб поповнювати в них запаси. За скільки днів він може подолати пустелю? 7 клас 1. Розв'яжіть рівняння, вважаючи за невідоме х: mx - nx=5m-5n 2. Відомо, що a – 1 = b + 2 = c – 3 = d + 4 = e – 5. Яке серед чисел a, b, c, d, e буде найбільшим? 3. Кожен із чотирьох гномів – Беня, Веня, Євген і Сеня або завжди говорять правду, або завжди брешуть. Ми почули таку розмову: Беня каже Вені: «Ти брехун!» Євген каже Бені: «Сам ти брехун!» Сеня каже Євгену: «Вони обидва брехуни, та й ти теж!» Хто з них говорить правду? 4. Розмістити 6 точок на чотирьох прямих так, щоб на кожній з них було по 3 точки. 8 клас 1. На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК = ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ і ділить її навпіл. Знайти кути трикутника АВС. 2. Довести, що сума 31+32+33+34+ …+3100 ділиться на 120. 3. У підводного царя служать восьминоги у яких шість, сім, або вісім ніг. Ті, що мають 7 ніг, завжди брешуть, а ті, що мають 6 або 8 ніг завжди говорять правду. Зустрілися чотири восьминоги. Синій сказав: «Разом у нас 28 ніг», зелений: «Разом у нас 27 ніг», жовтий: «Разом у нас 26 ніг», червоний: «Разом у нас 25 ніг». У кого скільки ніг? 4. Розв’яжіть рівняння: (а2 – 9) = а – 3 9 клас 1. Розв’яжіть рівняння: ах2 - 2х - 1 = 0. 2. В трапецію з основами 3 см і 5 см можна вписати коло і навколо неї можна описати коло. Обчисліть площу п’ятикутника, утвореного радіусами вписаного у трапецію кола, перпендикулярними до бічних сторін, відповідними відрізками цих сторін і найменшою основою. 3.Із полудня до опівночі Вчений Кіт сидить під дубом, а з опівночі до полудня розповідає казки. На дубі він повісив плакат: «Через годину я буду робити те ж саме, що робив дві години назад». Скільки годин на добу цей надпис правильний? Відповідь обґрунтуйте. 4. Довести нерівність a² + b² + 1 ≥ ab + a + b. 10 клас 1. Числа, що дорівнюють довжинам сторін прямокутного трикутника, утворюють арифметичну прогресію. Менший катет цього трикутника дорівнює а. Знайти площу трикутника. 2. Шкільний Клуб Любителів Яблук складається із 58 учнів. На чергове засідання кожний хлопчик приніс 15 яблук і роздав їх дівчаткам, а кожна дівчинка принесла 14 яблук і роздала їх хлопчикам. З’ясувалося, що усі хлопчики, які є членами клубу, одержали порівну яблук і усі дівчатка, які є членами клубу, – також (можливо й іншу кількість). Скільки серед членів шкільного клубу хлопчиків і скільки дівчаток? Наведіть усі можливі відповіді і доведіть, що інших немає. 3. Визначте якою цифрою закінчується число 1322012. 4.При якому значенні параметра а корені рівняння x4 + 5x3 + a x2 - 40 x + 64= 0 утворюють геометричну прогресію, знаменник якої дорівнює -2? Знайти всі корені цього рівняння 11 клас 1. Квадрат вписано в круг. На сторонах квадрата, як на діаметрах всередині квадрата побудовано півкруги. Чотири попарних перетини цих півкругів утворюють фігуру «квітка». Довести, що загальна площа «квітки» дрівнює площі частини описаного круга, що лежить поза квадратом. 2. Автомобіль проїхав першу половину шляху зі швидкістю 60 км/год. Шлях, що залишився половину часу він їхав зі швидкістю 80 км/год, а другу половину – зі швидкістю 100 км/год. Знайти середню швидкість руху авто (в км/год). 3. Мішень для стрільби з лука має зображений на рисунку вигляд. Скільки мінімум пострілів повинен зробити спортсмен, щоб вибити рівно 105 очок? 4.При якому значенні параметра а корені рівняння x4 + 5x3 + a x2 - 40 x + 64= 0 утворюють геометричну прогресію, знаменник якої дорівнює -2? Знайти всі корені цього рівняння.
|
